Exercícios - Vetores

Exercícios de fixação

Vetores

Fonte: Adaptado de Rafael Helerbrock - https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/vetores

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Simbólicamente, como grafo, Vetores são segmentos de retas usados para representar alguma grandeza vetorial.

Apesar de ambas ações precisarem de força, puxar e empurrar são coisas distintas, uma vez que a força é representada por vetores.

Vetor é um segmento de reta orientado que apresenta módulo (tamanho), direção e sentido. Os vetores são usados para expressar grandezas físicas vetoriais, ou seja, aquelas que só podem ser completamente definidas se conhecemos o seu valor numérico, a direção em que atuam (horizontal e vertical), bem como o seu o sentido (para cima, para baixo).

Posição, velocidade, aceleração, força e quantidade de movimento são bons exemplos de grandezas vetoriais. Por exemplo, se quisermos saber a posição de algum local, é necessário que se aponte para uma direção. Nesse caso, o sentido do movimento é dado pela ponta do dedo.

Figura mostra um vetor de módulo (tamanho) a.

Para desenharmos vetores, é necessário perceber que sua representação deve levar em conta o seu tamanho, ou seja, um vetor que represente uma grandeza de valor numérico igual a 10 deve ser desenhado com a metade do tamanho de um vetor que tenha tamanho 20.

O tamanho em que desenhamos um vetor representa o seu módulo.

As direções de um vetor podem ser definidas com base no sistema de coordenadas escolhido, por exemplo. Usando-se o sistema cartesiano, as direções do espaço seriam $x$ e $y$ e um vetor poderia ser escrito como $\mathbf{V} = (x, y)$. O sentido, por sua vez, diz respeito à seta na ponta do vetor, que o indica, podendo ser tanto positivo como negativo.

Representação das direções dos vetores.

Quando escrevemos que um vetor é definido por suas coordenadas $x$ e $y$, dizemos que $x$ e $y$ são as suas componentes "horizontal" e "vertical", respectivamente. Quando um vetor encontra-se inclinado, sem coincidir com qualquer um dos eixos do sistema de coordenadas, é possível determinar o tamanho das suas componentes. Para tanto, basta conhecermos o ângulo $θ$, formado entre o vetor e a direção "horizontal", e o módulo do vetor $\mathbf a$:

Representação gráfica de vetores.

Para calcularmos essas componentes, é necessário fazer o seguinte cálculo:

Com base nas componentes $\mathbf a_x$ e $\mathbf a_y$ de um vetor, é possível calcular o seu módulo (tamanho). Para isso, basta aplicarmos o teorema de Pitágoras, uma vez que essas componentes são perpendiculares entre si:

Vetor resultante

Vetor resultante é o nome dado ao vetor que se obtém após realizar-se uma soma vetorial. Na soma vetorial, devemos considerar o módulo, a direção e o sentido dos vetores para encontrarmos o vetor resultante. Vejamos, a seguir, alguns casos de operações com vetores.

Operações com vetores

→ Soma de vetores

Vetores paralelos são aqueles que se encontram na mesma direção e no mesmo sentido. O ângulo formado entre esses vetores é sempre nulo. Observe a figura abaixo:

Vetores paralelos

Caso esses vetores tenham também o mesmo módulo, dizemos que se trata de vetores iguais. Para encontrarmos a resultante desses vetores, basta somarmos o módulo de cada um, além disso, o vetor resultante estará na mesma direção e sentido dos vetores paralelos, e seu tamanho deverá ser o tamanho dos dois vetores originários:

Vetores paralelos

Para calcularmos o módulo do vetor R, podemos utilizar a seguinte fórmula:

→ Subtração de vetores

Vetores opostos fazem um ângulo de 180º entre si, encontram-se na mesma direção, porém com sentidos contrários, como mostra a figura:

Vetores em sentidos contrários

O vetor resultante de dois vetores opostos é dado pela diferença no módulo desses, como é possível ver na figura seguinte:

Vetores em sentidos opostos

Nesse caso, o vetor resultante terá sua direção e sentido determinados pelo vetor de maior módulo e poderá ser calculado por meio da seguinte fórmula:

→ Vetores perpendiculares: Teorema de Pitágoras

Vetores perpendiculares formam um ângulo de 90º entre si. Para encontrarmos o vetor resultante de dois vetores perpendiculares, devemos ligar o início de um dos vetores à ponta do outro. O vetor resultante, nesse caso, formará a hipotenusa de um triângulo retângulo, observe:

Vetores perpendiculares

O módulo desse vetor resultante pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras:

→ Vetores oblíquos: regra do paralelogramo

Vetores que não se encaixem em nenhum dos casos anteriores podem ser determinados geometricamente pela regra do paralelogramo, como na próxima figura:

Vetores oblíquos

Sendo θ o ângulo formado entre os dois vetores de base (azul e vermelho), o módulo do vetor resultante poderá ser obtido por meio da próxima fórmula:

→ Resultante de vários vetores

Quando temos diversos vetores e queremos encontrar o vetor resultante, devemos conectá-los uns aos outros. Nesse processo, que independe da ordem escolhida, devemos ligar a ponta de um vetor ao início do próximo. No fim, o vetor resultante será aquele que liga o início do primeiro vetor com a ponta do último:

Resultante de vários vetores

Para encontrarmos o módulo desse vetor, somamos as componentes x e y de cada um dos vetores a, b, c, e d, e, no fim, aplicamos o Teorema de Pitágoras.

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Para expressar a soma de vetores na forma de somatório, considere dois vetores $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$ com componentes $A_i$ e $B_i$​, respectivamente. A soma desses vetores $\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$ também é um vetor, onde cada componente $C_i$​ é a soma dos componentes correspondentes de $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$.

A soma pode ser representada assim:

$\mathbf{C} = \sum_{i=1}^{n} (A_i + B_i) \, \mathbf{e}_i$

ou, para o somatório de componentes:

$$\mathbf{C} = \left( \sum_{i=1}^{n} A_i \right) + \left( \sum_{i=1}^{n} B_i \right)$$

onde:

• $i$ indica o índice de cada componente do vetor.

• $n$ é o número de componentes nos vetores.

• $\mathbf{e}_i$​ é o vetor unitário na direção do $i-ésimo$ componente (em notação vetorial).

Exemplo

Para vetores em 3D, $\mathbf{A} = (A_1, A_2, A_3)$ e $\mathbf{B} = (B_1, B_2, B_3)$

$\mathbf{C} = \sum_{i = 1}^{3} (A_i + B_i) = (A_1 + B_1) \mathbf{i} + (A_2 + B_2) \mathbf{j} + (A_3 + B_3) \mathbf{k}$

Assim, a notação de somatório é uma forma conveniente de expressar a soma dos vetores em suas componentes individuais.

Teste:

Vamos fazer dois exemplos exemplos e resolver com números inteiros.

Considere dois vetores em 3D:

$\mathbf{A} = (2, 5, -3) \\ \mathbf{B} = (4, -1, 6)$

Queremos encontrar o vetor soma $\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$.

Passo 1: Definir a soma em termos de somatório

A fórmula para a soma de vetores em componentes usando somatório é:

$\mathbf{C} = \sum_{i=1}^{3} (A_i + B_i) \mathbf{e}_i$

onde $A_i$​ e $B_i$​ são as componentes de $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$, respectivamente, e $\mathbf{e}_i$​ são os vetores unitários $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, e $\mathbf{k}$ para as direções $x$, $y$, e $z$.

Passo 2: Somar as componentes de cada direção

Agora somamos cada componente correspondente dos vetores $\mathbf{A}$ e $\mathbf{B}$:

1. Componente $x$ : $A_1 + B_1 = 2 + 4 = 6$

2. Componente $y$ : $A_2 + B_2 = 5 + (-1) = 4$

3. Componente $z$ : $A_3 + B_3 = -3 + 6 = 3$

Passo 3: Escrever o vetor soma

Assim, o vetor$\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$ é:

$\mathbf{C} = (6, 4, 3)$

Ou, em notação vetorial com unitários:

$\mathbf{C} = 6 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + 3 \mathbf{k}$

Resumo

Portanto, a soma dos vetores $\mathbf{A} = (2, 5, -3)$ e $\mathbf{B} = (4, -1, 6)$ resulta no vetor:

$\mathbf{C} = (6, 4, 3)$

Atividade: Estude os exercícios resolvidos sobre vetores e desenvolva:

1. Um algoritmo

2. Um fluxograma

3. Uma implementação (portugol ou outra linguagem de programação)

Exercícios resolvidos

1) Assinale a alternativa que apresenta corretamente o módulo da resultante de dois vetores, A e B, cujas componentes são dadas por A = (12,5) e B = (-9,-1).

a) 12

b) 4

c) 6

d) 5

e) 3

Gabarito: Letra D

Resolução:

Para determinarmos o vetor resultante dos vetores $\mathbf A$ e $\mathbf B$, precisamos somar suas componentes $x$ e $y$, para tanto, faremos o seguinte cálculo:

De acordo com o resultado encontrado, o vetor resultante é dado $\mathbf {V_R} = (3,4)$ e seu módulo vale 5.

2) Dois vetores, de módulos iguais a 3 e 2, formam entre si um ângulo de 60º. Determine o módulo da resultante desses vetores.

a) 6

b) √6

c) 5

d) √19

e) 5

Gabarito: Letra E

Resolução:

Para calcularmos o módulo do vetor resultante entre esses dois vetores oblíquos, é necessário utilizarmos a lei dos cossenos, considerando que o ângulo entre esses vetores é 60º. Dessa forma, teremos que fazer o seguinte cálculo:

3) Um vetor A, de módulo 5, encontra-se inclinado com ângulo de 30º em relação ao eixo horizontal. Determine o módulo das componentes horizontal e vertical, $A_x$ e $A_y$, desses vetores.

a) √3 e √2

b) 5√3/2 e 5/2

c) 5/2 e 5

d) 3/4 e 5/2

e) 25 e √2

Gabarito: Letra B

Resolução:

Para determinarmos quais são as componentes do vetor $A$, devemos utilizar as relações do seu módulo com o seno e o cosseno do ângulo de 30º, que esse vetor forma com a direção $x$. Para tanto, devemos fazer o seguinte cálculo:

4) Vamos considerar três vetores em 3D:

$\mathbf{A} = (3, -2, 5) \\ \mathbf{B} = (4, 1, -3) \\ \mathbf{C} = (-1, 3, 2)$

Queremos encontrar o vetor soma $\mathbf{R} = \mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}$.

Passo 1: Definir a soma em termos de somatório

Para somar os vetores, usamos a seguinte expressão:

$\mathbf{R} = \sum_{i=1}^{3} (A_i + B_i + C_i) \mathbf{e}_i$

onde $A_i$​, $B_i$​, e $C_i$​ são as componentes dos vetores $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, e $\mathbf{C}$, respectivamente, e $\mathbf{e}_i$ são os vetores unitários $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, e $\mathbf{k}$ para as direções $x$$x$, $y$, e $z$.

Passo 2: Somar as componentes de cada direção

Agora, somamos cada componente correspondente dos vetores $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, e $\mathbf{C}$:

1. Componente $x$ : $A_1 + B_1 + C_1 = 3 + 4 + (-1) = 6$

2. Componente $y$ : $A_2 + B_2 + C_2 = -2 + 1 + 3 = 2$

3. Componente $z$ : $A_3 + B_3 + C_3 = 5 + (-3) + 2 = 4$

Passo 3: Escrever o vetor soma

Assim, o vetor resultante $\mathbf{R} = \mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}$ será:

$\mathbf{R} = (6, 2, 4)$

ou, em notação vetorial com unitários:

$\mathbf{R} = 6 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j} + 4 \mathbf{k}$

Resumo

Portanto, a soma dos vetores $\mathbf{A} = (3, -2, 5)$, $\mathbf{B} = (4, 1, -3)$ e $\mathbf{C} = (-1, 3, 2)$ resulta no vetor:

$\mathbf{R} = (6, 2, 4)$

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